Научная работа Д Верещагина началась задолго до диплома, была самостоятельной и была посвящена знаменитой задаче о раскраске карт, относящейся к теории графов. По моему глубокому убеждению склонность к такому виду  деятельности была у него врожденной и проявлялась в азартном решении задач, разгадывании головоломок (в том числе -китайских!), в котором он достиг высот необыкновенных. Когда я познакомился с результатами по задаче о раскраске карт (а это было значительно позже дипломной работы), был поражен зрелостью постановки задачи и тщательностю выполнения. Можно сказать, что, как в известном случае Галуа, Дмитрий реализовался, как математик весьма рано: уже ко  времени выполнения курсовой работы.Забегая вперед, скажу, опуская историю нашего сотрудничества в этом аспекте, что эта первая работа Д. Верещагина: "К задаче о раскраске карт" (Название приблизительное: текст рукописи злосчастным образом исчез вместе с частью моих документов ),так и осталась неопубликованной.

ионосферных эффектов магнитных бурь и, следовательно условий наземной и космической связи.
   Бурные обсуждения  с заказчиками и сотрудниками условий применения   гидродинамического  описания на типично ионосферных высотах, на которых атмосферный газ  находится в разреженном состоянии (длина свободного пробега молекул и атомов на высоте  500 км   становится приблизительно равной  шкале высот)  привели меня, как руководителя работ, к необходимости развития теории в этом направлении. ДА досталась именно эта сложная задача.  Ее сложность заключалась  в том, что условия распространения возмущений в атмосфере сильно изменяются с высотой, как говорят, -  экспоненциально. При этом изменяется и отношение длины свободного пробега молекул к репрезентативной
физической длине (число Кнудсена). Можно сказать, что уровень описания при этом тоже радикально изменялся: и без того сложные уравнения Навье-Стокса  (гидродинамика) должны были плавно переходить в кинетические уравнения, пригодные на высотах длин свободного пробега, сравнимых или больших длины волны.  
    Первая модель, над которой работали мы с ДА  была двуслойной: в нижнем слое атмосферы теория АГВ строилась на  основе гидродинамического описания, другая - на базе кинетического уравнения Больцмана.  Высота сшивания выбиралась по значению числа Кнудсена и граничные условия со стороны кинетического описания интегрировались  по пространству скоростей, что позволяло приравнять их гидродинамическим параметрам.  По сути, был  сформулирован новый метод описания АГВ в кинетическом подходе, ибо гидродинамический режим, как известно,  является следствием кинетического.   Рассматривались варианты модели с различным уровнем кинетического описания, начиная с бесстолкновительного.
    Результаты работы были опубликованы в научных отчетах по названной теме  и в периодических сборниках АН СССР.

С. Б. Лебле, Д. А. Верещагин,
 О кинетическом методе описания процессов распространения внутренних гравитационных волн в термосфере
    "Ионосферное прогнозирование"
 Р. А. Зевакина, Н. П. Сергеенко - ред., Институт земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн
(Академия наук СССР)      Изд-во "Наука",1199-1205, 1982.
см также Научные отчеты КГУ, депонированные в ВИНИТИ (182,203).

К сожалению, так успешно начатые научные исследования Д. Верещагина была прервана службой в армии.
 По возвращению он сразу включился в работу, новый (второй) вариант метода уже полностью опирался на кинетический
подход, учитывающий стратификацию среды распространения волновых возмущений по числу Кнудсена. См:

С. Б. Лебле, Д. А. Верещагин, Свойства внутренних гравитационных волн в атмосфере,
 стратифицированной по числу Кнудсена.
  Ионосферные исследования, Радио и Связь, Москва (1985), 59-67.


С.Б.Лебле, Д.А.Верещагин, Распространение Внутренних Волн в  Атмосфере, характеризующейся
Изменчивостью числа Кнудсена, Волновые Процессы
в Ионосфере, Алма-Ате, Наука,  26-33  (1987)

Важным элементом теории стало исследование фоновой, невозмущенной атмосферы в рамках общего кинетического
подхода, см. публикацию.

С.Б.Лебле, Д.А.Верещагин Высотная структура атмосферы, стратифицированной по числу Кнудсена.
VINITI,24.04.87, N 2927-887 (1987)

Итоговой публикацией на эту тену стала статья в престижном академическом журнале:

С.Б.Лебле, Д.А.Верещагин, Свойства Внутренних Волн в Атмосфере, Стратифицированной По Числу Кнудсена
 Изв. АН СССР,сер.Физ.Атм.и Ок., т.23 (1987), с.815-820.

Обзор метода и результаты даны в международном издании

С.Б.Лебле, Theory of Thermospheric Waves and Their Ionospheric Effects
  Pure and Applied Geophysics, v.127, N2/3 (1988).

В 1989 году к работам по этой теме подключился выпускник нашей кафедры, в то время к.ф.м.н.
(ныне - зав. каф. статфизики СпбУ, проф.) А.К.Щекин,
Были выведены сначала локальные дисперсионные соотношения в  диссипативной  атмосфере
(в рамках гидродинамики - уравнений  Навье-Стокса), см.

А.К.Щекин, С.Б.Лебле, Д.А.Верещагин. Локальные дисперсионные соотношения в теории
 акустико-гравитационных волн в изотермической атмосфере. Изв.АН СССР.
 Физика атмосферы и океана. 1991. Т.27.n.1.С.95-106.

 Особую роль в научных исследованиях Верещагина играл постоянный интерес
 к математическим аспектам теории. например, в ходе работы над построением решений
задачи кинетической теории газа в стратифицированной среде, возникла необходимость разложения
по специальному базису. Были построены и исследованы новые специальные функции.
  Эти интереснейшие результаты были представлены на научной конференции КГУ (к сожалению,
 публикация слишком кратка и малодоступна широким научным кругам)

 
 Д.А.Верещагин, С.Б.Лебле, А.К.Щекин. О   Специальных  Функциях в Кинетической теории Стратифицированных
 Газов, в Тезисах ХХ научной конференции КГУ, Калининград, (1989) с.10

Далее мы приступили к исследованию дисперсионных соотношений в кинетическом подходе, опубликованном
сначала в тезисах конференции

А.К.Щекин, С.Б.Лебле, Д.А.Верещагин.  Кинетическое описание волновых возмущений в
стратифицированном газе с произвольным числом Кнудсена
Proceedings of III USSR Workshop "Methods of Hydrophysical Investigations",
Svetlogorsk, 99 (1989)

а затем -  в академическом издании

 С.Б.Лебле, Д.А.Верещагин, А.К.Щекин. Кинетическое описание волновых возмущений в
стратифицированном газе. В кн. «Методы гидрофизических исследований. Турбулентность и микроструктура».
 Под ред. акад. А.В. Гапонова-Грехова и др. Н.Новгород. ИПФ РАН.1990. С.215-233.

Некоторые резултаты методического развития метода были включены в учебное пособие
(с элементами монографии) по спецкурсу

 А.К.Щекин, С.Б.Лебле, Д.А.Верещагин. Введение в физическую кинетику разреженных газов.
 Калининград. Изд.-во КГУ. 1990. 80 С.

Некоторые результаты совместных работы были подытожены в монографии


С. Б. Лебле, Волноводное распространение нелинейных волн в стратифицированных средах
      Издательство Ленинградского университета, 1988
 
и, позднее, в расширенном варианте, в международном издании

S. Leble, Nonlinear Waves in Waveguides,  Springer-Verlag,Berlin (1991)


Наконец, подробное изложения метода на этот период можно найти в диссертации Д.А .Верещагина
   Верещагин, Д. А.
    Метод модельных кинетических уравнений в теории волновых возмущений в стратифицированном газе
 [Текст] : автореферат диссертации на соискание ученой степени канд.физ.-мат.наук:01.04.02 / Д. А. Верещагин.
 - Л., 1991. - 14 с. : ил  В надзаг.: ЛГУ. Библиогр.: с. 14(5назв.).

Типичным дла математической физики была постановка и решение краевой
 задачи о распространении граничного режима в условиях среды, неоднородной по числу Кнудсена.


 Д.А.Верещагин, С.Б.Лебле, А.К.Щекин.
Распространение граничного режима в Стратифицированном Газе с Произвольным Числом Кнудсена
Журнал Прикл. Мат. и Техн. Физ, Новосибирск (1993) p.70-79.

В этот период состоялся "выход" наших результатов на международную арену, прежде всего в результате поездки
в Норвегию
на международную конференцию по нелинейной акустике (о масштабе конференции говорит число участников -
только от СССР, на огромном исследовательском судне АН СССР "Академик Константинов", приехало около
200 участников).
 
 S. Leble,D.Vereshchagin
Kinetic Description of Sound Propagation in Stratified Medium
Proc.of ISNA "Advances in Nonlinear Acoustics" ed. Hobaek, World Sci.,Singapore (1993) 219-224.
см также
 Д.А.Верещагин, С.Б.Лебле, Прохождение  Нелинейной Волны через Кнудсеновский слой
 Стратифицированного Газа
 Proc.of Int. Symposium NOLTA ed.A.Kuh, World Sci., Singapore v.3 (1993) ,p.1097-1100

    Вершиной нашего совместного творчества с Дмитрием Верещагиным стало создание замкнутой моментной теории, основанной на новаторской идее введения разрыва в пространстве скоростей и двойного набора моментов. Вторым важным элементом теории
стала идея Бхатнагара-Гросса-Крука-Джексона о моментной аппроксимации интеграла столкновений. Была создана  расширенная гидродинамика, позволяущая экономно и эффективно описат Кнудсеновский режим на универсальной основе. 
   Наиболее важной и новаторской публикацией стало выступление на международной конференции по нелинейной акустике (в Китае)

S. B. Leble, D.A.Vereshchagin Piecewise continuous partition function and acoustics in stratified
gas. in:  Nonlinear Acoustics in Perspective, ed.
R.Wei,  (1996), p.142-146.

    Затем, в сотрудничестве с группой испанских теоретиков (университет Саламанки), было осуществлено сравнение теории разреженного стратифицированного газа в поле тяжести с результатами моделирования в подходе  молекулярной динамики

Molecular Dynamics and Momenta BGK Equations for Rarefied Gas in
Gravity field. (with F.L. Roman, D.A. Vereshchagin and J.A. White) in:
 Proceedings of 8th Joint EPS-APS International Conference Physics Computing
CYFRONET-KRAKOW, Ed. P.Borcherds, M.Bubak, A.Maksymowicz} (1996), p.218-221.

 

В это время выполняются также работы по  нелинейной акустике в гетерогенных средах


Лебле С.Б., Верещагин Д.А., Шпилевой А.Я. Динамика процессов в гетерогенных системах и фазовые переходы.
 Калининградский государственный университет, 1999 г., 75 стр.

http://www.runiokr.info/niokr/dinamika-protsessov-v-geterogennyh-sistemah-i-fazovye-perehody.html

Лебле С.Б., Верещагин Д.А.,   Верещагинa I.С.
Evaluation of Nonlinear constants from results of acoustic measurement. Regularisation problem.
Hydroacoustics. 6 (2003) 159-166

Надо отметить, что спустя несколько лет появились работы, содержащие изложение аналогичного подхода
(без ссылок на наши публикации)
к теории описания Кнудсеновского режима в газах, хочу подчеркнуть - лишь в однородных, позволяющих описать
распространениe только акустических волн.

X Chen, H Rao… - Arxiv preprint astro-ph/0105347, 2001 - arxiv.org
Higher-order continuum approximation for rarefied gases

X Chen, H Rao… - Physics Letters A, 2000

EA Spiegel… - Physics of Fluids, 2003 - link.aip.org
Macroscopic equations for rarefied gas dynamics





Дальнейшие наши шаги были опубликованы в неплохо цитируемой статье
Preprint CERN, physics/0503233
Title     Piecewise continuous distribution function method: Fluid equations and wave disturbances
at stratified gas
Author(s) Vereshchagin, D ; Leble, S
Imprint     31 Mar 2005. - 20 p.


Развитие  этих идей при участии дипломника ДА, позднее - моего аспиранта Максима Соловчука
описано описано в статье:
 Vereshchagin, D.A. Leble, S.B. Solovchuk, M.A.
 Piecewise continuous distribution function method in the theory of wave disturbances
of inhomogeneous gas , Physics Letters A, 348 (3), p.326-334,
2006.

Переход к трехмерному случаю осуществлен в

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 2006 год, том 18, номер 4, стр.118-128
УРАВНЕНИЯ ТРЕХМЕРНОЙ ДИНАМИКИ ГАЗА
ПО ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
С РАЗРЫВОМ В ПРОСТРАНСТВЕ СКОРОСТЕЙ
°c С.Б.Лебле , М.А.Соловчук

 M. Solovchuk, S. Leble.   "The kinetic description of ultrasound propagation in a rarefied gas:
from a piecewise continuous description to fluid equations" ,
 CD proceedings, ISBN 963 8241 68 3 .  pages L235-L240.
 Acta Acustika V. 91, Supplement 1,  page  S176 -theses.

И, наконец, итоговая публикация:

 D.A. Vereshchagin and S.B. Leble, Piecewise continuous distribution function method: Fluid equations
and wave disturbances at stratified gas, Journal of Atmospheric
and Solar-Terrestrial Physics, Volume 68, Issue 12, , August 2006,
Pages 1321-1329.

(http://www.sciencedirect.com/science/article/B6VHB-4K66F95-1/2/c60567cb7d5d579e86f2a0dd3d9d2c4c)


Вышеперечисленные работы ДА несомненно  характеризуют его, как состоявшегося ученого,  внесшего
 существенный вклад в развитие теоретической и математической физики.

В целом цикл опубликованных работ Д.А. Верещагина по кинетичекому описанию АГВ  по сути и по уровню
публикаций содержат материалы достаточные дла защиты докторской диссертации.


Наконец, подробное изложения метода на этот период можно найти в диссертации Д.А .Верещагина
с развитием этих идей при участии дипломника ДА, позднее - моего аспиранта Максима Соловчука
надо сказать, я почти не  упомянул выступлений на конференциях, на которых выдающиеся отечественные специалисты
 (нп. - акад. Белоцерковский - в Тамбове, Проф Петвиашвили из института Курчатова,) высоко оценивали презентации
 ДА;
подчеркивали важность работ дла развития космических  исследований. Скажу еще об одной неопубликованной
работе по физике плазмы, выполненой в рамках сотрудничества с ОКБ "Факел". В ней решалась обратная
 задача диагностики параметров плазмы. Ключевым вкладом ДА было развитие метода регуляризации А. Н. Тикхонова
в классе краевых задач с граничными условиями различных типов. Эти результаты впоследствии применялись
в обратной задаче в виде интегрального уравнения Фредгольма 1 рода с приложениями в теории сонара
(сотрудничество с проф. Степновским из Гданьского технического университета, факультет электроники и
 информатики). Упомяну и важный вклад ДА в научное воспитание студентов: выполнена серия солидных дипломных
и курсовых работ.

В заключение хочется обратится к студентам с предложением включится в разработку вышеописанной важной темы,
в большой степени инициированной Д.А. Верещагиным;

 в настоящее время работы по этой теме продолжает наш ученик М.А.Соловчук,
совместно с китайскими специалистами (Тайвань). Опубликованы две работы, в которой наш подход
(называемый бимодальной
 функцией расоределения) применяется к исследованию ударных волн.


Maxim A. Solovchuk and Tony W. H. Sheu, Prediction of shock structure using the bimodal distribution
 function. PHYSICAL REVIEW E 81, 056314
2010

Maxim A. Solovchuk,  and Tony W. H. Sheu. Prediction of strong shock structure using the bimodal
distribution function. PHYSICAL REVIEW E 83(2-2):026301, 2011;

                 Автор материала о Д.А. Верещагине  профессор Лебле С.Б.